ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Теория чисел — это область математики, выросшая из арифметики, в которой изучаются свойства целых, рациональных и алгебраических чисел, а также свойства любых других чисел, вытекающие из приближений их рациональными числами. В XVIII в. она еще была тесно связана с алгеброй, но своеобразие проблематики и методов теории чисел уже осознавалось достаточно определенно. Накопившийся запас теоретико-числовых фактов также способствовал выделению теории чисел в особую область математики.

Еще в Древней Греции были выделены по принципу общности свойств различные подмножества целых чисел: простые, квадратные, совершенные, полигональные, составляющие пифагорейские тройки и др. Там же была разработана стройная теория делимости, доказана бесконечность числа простых чисел в натуральном ряде, изобретен алгоритм Евклида. Сочинения Диофанта представляли много примеров раннего и высокою развития неопределенного анализа.

Однако развитие теории чисел происходило очень медленно. Между новыми открытиями проходили десятилетия, а то и века. Теоретико-числовые результаты достигались в большинстве выдающимися учеными и оставались изолированными. Возможными причинами этого являлись: специфичность предмета теории чисел, возрастающая абстрактность в постановке задач этой теории, необычайная трудность их решения, требующая высокого развития математики и незаурядных личных качеств ученого. В силу этих причин существенное обогащение теории чисел и ее формирование и обособление произошли лишь в XVII-XVIIIвв. В этот период ее проблемами занимались несколько крупных ученых: Декарт, Б. Паскаль, Лейбниц, Эйлер и др.

В течение XVII в. наибольших результатов добился П. Ферма, который по праву считается основателем теории чисел, замечательные исследования которого определили дальнейшее ее развитие. В его переписке и на полях принадлежавшей ему книги сочинений Диофанта содержится большое число теоретико-числовых результатов. В частности, Ферма записал там свою знаменитую великую теорему: уравнение хⁿ + уⁿ = zⁿ для целых показателей при n > 2 неразрешимо в целых числах. Приписка Ферма гласила, что он владеет поистине чудесным доказательством, но на полях нет места, чтобы его записать. Однако общее доказательство этой теоремы не найдено до настоящего времени, хотя ею занимались многие величайшие математики и бесчисленное множество любителей. Своей постановкой великая теорема, по-видимому, была обязана стремлению Ферма обобщить теорему о составлении пифагорейских троек целых чисел. Тот же источник - древнегреческую математику — можно с большой уверенностью назвать и для малой теоремы Ферма (если р простое, а целое, не делящееся нар, то а^p-1 = 1 (mod р), т. е. а^p-1 - 1 делится на р). Первым дал доказательство этой теоремы, лежащей в основе теории сравнений, Л. Эйлер. Ферма исследовал делимость чисел и проблему нахождения всех делителей заданного числа. К этому же кругу вопросов относятся работы Ферма о совершенных и других числах специальной структуры. Большое место в исследованиях Ферма занимает неопределенный анализ Диофанта, т.е. целочисленные решения неопределенных уравнений и их систем.

После работ Ферма, Паскаля и др. в теории чисел наступило полувековое затишье, почти не прерываемое вплоть до того времени, когда теорией чисел занялся Эйлер. С его именем связано становление теории чисел как науки. Нахождение доказательств, обобщений или опровержений теорем Ферма было первым этапом теоретико-множественных исследований Эйлера. В последующем он охватил и развил все основные разделы теории чисел, как алгебраической, так и аналитической, определив ее состав и методы на много лет вперед. Работы Эйлера определили проблематику, структуру и методы алгебраической теории чисел, т.е. той ее части, в которой используются по преимуществу методы арифметики и алгебры и не привлекается по возможности аппарат теории функций и анализа бесконечно малых. Не менее велики заслуги Эйлера в разработке проблем диофантова анализа (решение неопределенных уравнений в целых и рациональных числах), для нужд которого он разработал и строго обосновал теорию непрерывных дробей.

Особо важным этапом развития теории чисел являлось применение к решению ее задач методов математического анализа. Эта часть теории чисел — аналитическая — берет свое начало также в трудах Эйлера. Он разработал аналитические методы для решения проблемы распределения простых чисел, в ряду натуральных чисел, а также для ряда аддитивных проблем. Настойчивые поиски аналитически выраженного закона распределения простых чисел, как известно, не привели к успеху до сих пор.

Характер и направление исследований по теории чисел в течение почти всего XIX века были, по существу, определены работами Гаусса. Открытия Гаусса в теории чисел огромны. Считается общепризнанным, что после работ Гаусса теория чисел развивается уже как стройная теория, задачи которой ведут к развитию новых методов анализа (в особенности теории функций комплексного переменного), алгебры и даже тригонометрии. Определились и основные направления теории чисел. Это а) разработка специальных методов теории чисел, называемых элементарными б) аналитические методы, применяемые к задачам распределения, в) диофантовы уравнения и приближения.