The Axiomatization of Arithmetic

Following the arithmetization of classical maths, it was natural, in this line of development, that attention should next be directed toward the foundations of arithmetic itself, and, in fact, this is what happened around 1880. Apparently, before the nineteenth century, no one had attempted to define addition and multiplication in any other way than by a direct appeal to intuition.

Leibnitz alone, faithful to his principles, pointed out explicitly that "truths" as "obvious" as 2 + 2 = 4 are no less capable of proof, if one reflects on the definitions of the numbers which appear there in, and he did not by any means regard the commutativity of addition and multiplication as self-evident. As examples of non-commutative operations, he cited subtraction, division, and exponentiation. At one time he even attempted to introduce such operations into his logical calculus. He did not, however, push his reflections on this subject any further, and in the middle of the nineteenth century progress has still not been made in this direction.

Even Weierstrass, whose lectures contributed greatly to the spread of "arith-metizing" point of view, did not realize the necessity of a logical clarification of the theory of integers. The first steps in this direction are, apparently, due to Grassman who, in 1861 gave a definition of addition and multiplication of inte­gers and proved their fundamental properties (commutativity, associativity, dis-tributivity), using nothing but the operation x —>x + 1 and the principle of induction.

The latter had been clearly conceived and used for the first time in the seven­teenth century by B.Pascal though more or less explicit applications of it are to be found in the maths of antiquity - and it was in current use by mathematicians from the second half of the seventeenth century.

But it was not until 1888 that Dedekind enunciated a complete system of axioms for arithmetic (reproduced three years later by Peano and usually known under his name), which contained, in particular, a precise formulation of the principle of induction (which Grassman had used without enunciating it explicitly).

With this axiomatization it seemed that the definitive foundations of maths had been attained. But, in fact, at the very moment when the axioms of arithmetic were being clearly formulated, arithmetic, itself was being dethroned from this role of primordial science in the eyes of many mathematicians (beginning with Dedekind and Peano), in favour of the most recent of math theories, namely, the theory of sets; and the controversies which were to surround the notion of integers cannot be isolated from the great "crisis of foundations" of the years 1900-1930.

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Теория чисел — это область математики, выросшая из арифметики, в которой изучаются свойства целых, рациональных и алгебраических чисел, а также свойства любых других чисел, вытекающие из приближений их рациональными числами. В XVIII в. она еще была тесно связана с алгеброй, но своеобразие проблематики и методов теории чисел уже осознавалось достаточно определенно. Накопившийся запас теоретико-числовых фактов также способствовал выделению теории чисел в особую область математики.

Еще в Древней Греции были выделены по принципу общности свойств различные подмножества целых чисел: простые, квадратные, совершенные, полигональные, составляющие пифагорейские тройки и др. Там же была разработана стройная теория делимости, доказана бесконечность числа простых чисел в натуральном ряде, изобретен алгоритм Евклида. Сочинения Диофанта представляли много примеров раннего и высокою развития неопределенного анализа.

Однако развитие теории чисел происходило очень медленно. Между новыми открытиями проходили десятилетия, а то и века. Теоретико-числовые результаты достигались в большинстве выдающимися учеными и оставались изолированными. Возможными причинами этого являлись: специфичность предмета теории чисел, возрастающая абстрактность в постановке задач этой теории, необычайная трудность их решения, требующая высокого развития математики и незаурядных личных качеств ученого. В силу этих причин существенное обогащение теории чисел и ее формирование и обособление произошли лишь в XVII-XVIIIвв. В этот период ее проблемами занимались несколько крупных ученых: Декарт, Б. Паскаль, Лейбниц, Эйлер и др.

В течение XVII в. наибольших результатов добился П. Ферма, который по праву считается основателем теории чисел, замечательные исследования которого определили дальнейшее ее развитие. В его переписке и на полях принадлежавшей ему книги сочинений Диофанта содержится большое число теоретико-числовых результатов. В частности, Ферма записал там свою знаменитую великую теорему: уравнение хⁿ + уⁿ = zⁿ для целых показателей при n > 2 неразрешимо в целых числах. Приписка Ферма гласила, что он владеет поистине чудесным доказательством, но на полях нет места, чтобы его записать. Однако общее доказательство этой теоремы не найдено до настоящего времени, хотя ею занимались многие величайшие математики и бесчисленное множество любителей. Своей постановкой великая теорема, по-видимому, была обязана стремлению Ферма обобщить теорему о составлении пифагорейских троек целых чисел. Тот же источник - древнегреческую математику — можно с большой уверенностью назвать и для малой теоремы Ферма (если р простое, а целое, не делящееся нар, то а^p-1 = 1 (mod р), т. е. а^p-1 - 1 делится на р). Первым дал доказательство этой теоремы, лежащей в основе теории сравнений, Л. Эйлер. Ферма исследовал делимость чисел и проблему нахождения всех делителей заданного числа. К этому же кругу вопросов относятся работы Ферма о совершенных и других числах специальной структуры. Большое место в исследованиях Ферма занимает неопределенный анализ Диофанта, т.е. целочисленные решения неопределенных уравнений и их систем.

После работ Ферма, Паскаля и др. в теории чисел наступило полувековое затишье, почти не прерываемое вплоть до того времени, когда теорией чисел занялся Эйлер. С его именем связано становление теории чисел как науки. Нахождение доказательств, обобщений или опровержений теорем Ферма было первым этапом теоретико-множественных исследований Эйлера. В последующем он охватил и развил все основные разделы теории чисел, как алгебраической, так и аналитической, определив ее состав и методы на много лет вперед. Работы Эйлера определили проблематику, структуру и методы алгебраической теории чисел, т.е. той ее части, в которой используются по преимуществу методы арифметики и алгебры и не привлекается по возможности аппарат теории функций и анализа бесконечно малых. Не менее велики заслуги Эйлера в разработке проблем диофантова анализа (решение неопределенных уравнений в целых и рациональных числах), для нужд которого он разработал и строго обосновал теорию непрерывных дробей.

Особо важным этапом развития теории чисел являлось применение к решению ее задач методов математического анализа. Эта часть теории чисел — аналитическая — берет свое начало также в трудах Эйлера. Он разработал аналитические методы для решения проблемы распределения простых чисел, в ряду натуральных чисел, а также для ряда аддитивных проблем. Настойчивые поиски аналитически выраженного закона распределения простых чисел, как известно, не привели к успеху до сих пор.

Характер и направление исследований по теории чисел в течение почти всего XIX века были, по существу, определены работами Гаусса. Открытия Гаусса в теории чисел огромны. Считается общепризнанным, что после работ Гаусса теория чисел развивается уже как стройная теория, задачи которой ведут к развитию новых методов анализа (в особенности теории функций комплексного переменного), алгебры и даже тригонометрии. Определились и основные направления теории чисел. Это а) разработка специальных методов теории чисел, называемых элементарными б) аналитические методы, применяемые к задачам распределения, в) диофантовы уравнения и приближения. 

Понятие структуры

Что надо понимать в общем случае под математической структурой? Общей чертой различных понятий, объединенных этим родовым названием, является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых не определена.

Мы становимся здесь на «наивную» точку зрения и не касаемся щекотливых вопросов, полуфилософских, полуматематических, возникших в связи с проблемой «природы» математических объектов. Ограничимся замечанием, что первоначальный плюрализм в наших представлениях этих «объектов», мыслимых сначала как идеализированные «абстракции» чувственного опыта и сохраняющих всю разнородность этих последних, в результате аксиоматических исследований XIX—XX вв. был заменен единой концепцией, посредством последовательного сведения всех математических понятий сначала к понятию целого числа, затем на втором этапе к понятию множества.

Последнее, рассматриваемое долгое время как «первоначальное» и «неопределяемое», было объектом многочисленных споров, вызванных характером его исключительной общности и весьма туманной природы представлений, которое оно у нас вызывает. Трудности исчезли только тогда, когда исчезло само понятие множества (и с ним все метафизические псевдопроблемы относительно математических «объектов») в результате недавних исследований о логическом формализме. С точки зрения этой концепции единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры.

Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы (в случае групп — это отношение z = xƮy между тремя произвольными элементами); затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры).

В действительности, это определение структуры не является настолько общим, насколько этого требуют нужды математики. Нужно также охватить и тот случай, когда отношения, определяющие структуру, имеют место не между элементами рассматриваемого множества, а между подмножествами этого множества, и даже в более общем случае, между элементами множеств еще более высокой «степени» — в так называемой «лестнице типов».

В случае групп надо было бы, если соблюдать полную строгость, считать аксиомой, кроме а, в, с, и утверждение о том, что соотношение z = xƮy определяет одно и только одно z, когда даны х, у. Обычно считают, что это свойство молчаливо подразумевается самой записью этого отношения.

Построить аксиоматическую теорию данной структуры — это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности, от всяких гипотез относительно их природы).

Каждая структура сохраняет в своем языке интуитивные отзвуки той специфической теории, откуда ее извлек аксиоматический анализ, описанный нами выше. И когда исследователь неожиданно открывает эту структуру в изученных им явлениях, это для него является как бы толчком, который сразу направляет интуитивный поток его мыслей в неожиданном направлении, и в результате этого математический ландшафт, по которому он движется, получает новое освещение.

Чтобы ограничиться старым примером, вспомним прогресс, осуществленный в начале XIX в. благодаря геометрической интерпретации мнимых величин; с нашей точки зрения, это было обнаружение в множестве комплексных чисел хорошо известной топологической структуры — структуры евклидовой плоскости — со всеми следующими отсюда возможностями приложений, открытие, которое в руках Гаусса, Абеля, Коши и Римана менее чем за одно столетие обновило весь анализ.

Такие примеры умножились за последние 50 лет: пространство Гильберта и более общие функциональные пространства, вводящие топологические структуры в множестве, элементами которых являются уже не точки, а функции; p-адические числа Гензеля, посредством которых — еще более удивительное обстоятельство! — топология воцарилась в той области, которая до сих пор считалась царством дискретного, разрывного по преимуществу — в множестве целых чисел; мера Хаара, безгранично расширившая область применения понятия интеграла и способствовавшая весьма глубокому анализу свойств непрерывных групп.

Таковы решающие моменты в прогрессе математики, т.е. повороты, когда свет гения определял новое направление теории, обнаруживая в ней структуру, которая, как казалось a priori, не играла там никакой роли.

Это говорит о том, что в настоящее время математика менее чем когда-либо сводится к чисто механической игре с изолированными формулами, более чем когда-либо интуиция безраздельно господствует в генезисе открытий; но теперь и в дальнейшем в ее распоряжении находятся могущественные рычаги, представленные ей теорией наиболее важных структур и она окидывает единым взглядом унифицированные аксиоматикой огромные области, в которых некогда, как казалось, царил самый бесформенный хаос. 

The Notion of Structure

http://wormholetravel.net/

What is to be understood, in general, by a math structure! The common character of the different concepts designated by this generic name, is that they can be applied to sets of elements whose nature has not been specified.

We take here a point of view and do not deal with the thorny questions , half-philosophical, half -math raised by the problem of the "nature " of the main "begins" or "object". Suffice it to say that the axiomatic studies of the 19th and 20th centuries have gradually replaced the initial pluralism of the mental representation of these beings - thought of at first as ideal "abstractions" of sense experiences and retaining all their heterogeneity - by an unitary concepts, gradually reducing all the math notions, first to the concept of the natural number and then, in a second stage, to the notion of set. 

This latter concept, considered for a long time as "primitive" and "undefinable", has been the object of endless polemics, as a result of its extremely general character and on account of the -very vague type of mental representation which it calls forth; the difficulties did not disappear until the notion of set itself disappeared (and with it all metaphysical pseudoproblems concerning math "beings" in the light of the recent work on logical formalism. From this new point of view, math structures become, properly speaking, the only "objects" of math.

To define a structure, one takes as  given one or several relations, into which these elements enter (in the case of groups, this was relation z = xƮy between three arbitrary elements), then one postulates that the given relation or relation, satisfy certain conditions (which are explicitly stated, and which are the  axioms of the structure under consideration).

In effect, this definition of structures is not sufficiently general for the needs of maths, it is also necessary to consider the case in which the relations which hold not between elements of the set under consideration, but also between parts of this set and even, more generally, between elements of sets of still higher "degree" in the terminology of the "hierarchy of types".

Strictly speaking, one should, in the case of groups, count among the axioms besides properties (a), (b), (c) stated above, the fact that the relation z = xƮy determines one, and only one z, when x and у are given; one usually considers this property as tacitly implied by the form in which the relation is written.

To set up the axiomatic theory of a given structure amounts to the deduction of the logical consequences of the axioms of the structure, excluding every other hypothesis on the elements under consideration (in particular, ev­ery hypotheses as to their own nature).

Each structure carries with it its own language freighted with special intuitive references derived from theories from which the axiomatic analysis has derived the structure. And, for the research worker who suddenly discovers this structure in the phenomena which he is studying, it is like a sudden modulation which orients at one stroke in an unexpected direction the intuitive course of his thought and which illumines with a new light the mathematical landscape in which he is moving about.

Let us think—to take an old example—of the progress made at the beginning of the 19th century by the geometric representation of imaginaries. From our point of view, this amounted to discovering in the set of complex numbers in well-known topological structure, that of the Euclidean plane, with all the possibilities for applications which this involved; in the hands of Gauss, Abel, Cauchy and Riemann, it gave new life to analysis in less than a century.

Such examples have occurred repeatedly during the last fifty years; Hilbert space, and more generally, functional spaces, establishing topological structures in sets whose elements are no longer points, but functions; the theory of the Hensel p-adic numbers, where, in a still more astounding way, topology invades a region which had been until then the domain par excellence of the discrete, of the discontinuous, viz., the set of whole numbers; Haar measure which enlarged enormously the field of application of the concept of integral, and made possible  a very profound analysis of the properties of continuous groups.

All of these are decisive instances of math progress, of turning points of which a stroke of genius brought about a new orientation of a theory, by revealing  existence in it of a structure which did not a priori seem to play a part in it.

What all this amounts to is that math has less than ever been reduced to  a purely mechanical game of isolated formulas; more than ever does intuition dominate in the genesis of discoveries. But henceforth, it possesses the powerful tools furnished by the theory of the great types of structures; in a single view , it sweeps over immense domains, now unified by the axiomatic method which were formerly in a completely chaotic state. 

The Origin of Modern Arithmetic

http://wormholetravel.net/

We shall understand "arithmetic" in the sense of the Greek arithmetica. Equivalents are "the higher arithmetic" and the "theory of numbers". Gauss, the fore­most exponent of the classical theory after Fermat, preferred the simpler "arithmetic" or the longest "higher arithmetic". Modern arithmetic began with Fermat, roughly in the period of 1630-65. Significant as was Fermat's work in other fields of maths, he is usually considered to have made his greatest and most personal contribution in arithmetic.

This extensive division of maths differs from others in its lack of general methods. Even comprehensive theorems here are more difficult to devise than, say, in algebra or analysis. Thus, in algebra there is a complete theory of the solution of algebraic equations in one unknown; in fact, there are two complete theories. In arithmetic the simplest corresponding problem is the solution in integers of equations in two unknowns with integer coefficients, and for this there is nothing approaching a complete theory.

Many of Fermat's discoveries were either recorded as marginal notes in his books (the arithmetic in his copy of Diophantus) or were communicated usually without proof to correspondents. Some of his theorems were proposed by him as challenge problems to the English mathematicians. For example, he demanded a proof that the only positive integer solution of  x² + 2 = y³ is x=5, y=3. It will suffice to state those two of Fermat's discoveries which have had the profoundest influence on arithmetic and algebra since his time, and the one general method in arithmetic due to him.

Fermat stated that if n is a positive integer not divisible by the positive prime p, then n^p-1 is divisible by p. The Chinese "seem to have known as early as 500 B.C. "the special case n = 2. Any student of the theory of algebraic equations, or of modern algebra, or of arithmetic, will recall the frequent appearance of this fundamental theorem. The first published proof was Euler's in 1738; Leibnitz had obtained a proof before 1683 but did not publish it. The rule of priority in maths is first publication.

The second famous assertion of Fermat, his celebrated "last theorem", states that xⁿ + yⁿ = zⁿ, xyz ≠ 0, n > 2 is impossible in integers x, y, z, n. He claimed (1637) to have discovered a marvelous proof; and whether or not he had, no proof has yet been found. There seems to be but little point now in proving the theorem for special n's, enough in that direction being known to make it fairly plausible that the theorem is true.

But, to take out insurance against a possible disproof tomorrow, it must be emphasized that arithmetic is the last place in maths where unsubstantiated guessing is either ethical or profitable. Numerical evidence counts for very little; the only luxury reputable arithmetician allows himself is proof. It is generally agreed that the famous "last theorem", true or false, is of but slight interest today. But its importance in the development of arithmetic and modern algebra has been very great.

Fermat's general method, that of "infinite descent", is profoundly ingenious but has the disadvantage that it is often extremely difficult to apply. In the particular theorem for which Fermat invented the method, it is required to prove that the very positive prime of the form 4n + 1 is a sum of two integer squares. But 5 = 1² + 2²; hence the theorem.

The  outstanding desideratum in arithmetic is the invention of general methods applicable to nontrivial types of problems. Further, the arithmetical solution of a problem should consist in prescribing a finite number of purely arithmetical operations (exempt from all tentative processes) by which all the numbers satisfying the conditions of the problem, and those only, are obtained. Nobody after Euclide and before Lagrange, in the eighteenth century even distantly approached this ideal.

Многие понятия, задачи и методы теории чисел пришли к нам из древности; от древних греков, китайцев, вавилонян, египтян. Об их происхождении говорят сохранившиеся до наших дней названия: алгоритм Евклида, способ решета Эратосфена, пифагоровы треугольники, диофантов анализ, египетские дроби и т.д. Знакомство с арабскими рукописями и латинскими переводами Евклида и Диофанта в средние века пробудило у европейцев интерес к задачам теории чисел. Наибольший интерес представляют теоретико-численные результаты.

П. Ферма. Основные открытия Ферма по теории чисел содержатся в его замечаниях в книге Диофанта и в его письмах к ряду европейских математиков. Наибольшей известностью в теории чисел пользуются «малая теорема Ферма» (a^p-1 = k^p + 1) и «последняя» или «великая теорема Ферма" (xⁿ + yⁿ = zⁿ ) Это уравнение не имеет решений в целых числах при n целом, большем чем 2. Хотя сочинения Ферма были изданы через несколько лет после его смерти, они не привлекли в то время особого внимания математиков.

Л.Эйлер — один из творцов дифференциального и интегрального исчисления, продолжатель исследований Ньютона и Лейбница. Его любимым предметом была теория чисел. Поэтому не удивительно, что именно у Эйлера возникла мысль применить в теории чисел методы математического анализа. Много сделал для теории чисел современник Эйлера Ж.Лаграж.. Ему принадлежит первое доказательство теоремы о четырех квадратах, важные исследования по теории квадратичных форм, полное решение уравнения Ферма x² − ay² = 1  и другие важные результаты.

Первый систематический  курс теории чисел был опубликован А.Лежандром, в котором он изложил результаты Эйлера, Лагранжа и свои собственные. Вслед за ним появился капитальный и оригинальный труд К.Гаусса "Арифметические исследования», успешно применившего теорию чисел к теоретическому решению древней задачи о построении правильного семнадцатиугольника с помощью циркуля и линейки. Гаусс взглянул на теорию числе с новой точки зрения, стараясь в ее построении придерживаться единого принципа. Наследником и продолжателем Эйлера, Лагранжа и Гаусса в теории чисел явился ПЛежен-Дирихле, который доказал справедливость великой теоремы Ферма для n = 14. Он же впервые доказал теорему об арифметических прогрессиях. Другая большая заслуга Дирихле состоит в изучении им асимптотических законов для теоретико-числовых функций.

Вопросами теории чисел занимались многие современники Дирихле. Середина XIX в. была отмечена выдающимися результатами в области теории чисел. Расширения понятия целого числа породили теорию алгебраических чисел, теорию идеалов, теорию групп, арифметику кватернионов и другие разделы современной теории чисел и современной алгебры.

The Arithmetization of Classical Mathematics

http://wormholetravel.net/

We have had occasion to refer to the notion of a "model" or an "interpreta­tion" of a math theory constructed with the help of another theory. This is not a recent idea, and it should undoubtedly be seen as a continually recurring mani­festation of a deep-lying feeling of the unity of the various "math sciences". If the traditional maxim "All things are numbers" of the early Pythagoreans is tak­en as authentic, it may be considered as the vestige of a first attempt to reduce the geometry and algebra of the time to arithmetic.

The increasingly widespread use of the notion of "model" was to permit the nineteenth-century mathematicians to achieve the unification of maths dreamed of by the Pythagoreans. At the beginning of the century, whole numbers and continuous quantities were as irreconcilable as they had been in antiquity; the real numbers were related to the notion of geometric magnitude (especially that of length), and the "models" of negative numbers and imaginary number! were constructed on this basis. Even the rational numbers were traditionally associated with the idea of "subdivision" of magnitude into equal parts. Only the integers remained apart, as "exclusive products of our intellect", as Gauss said in 1832.

The first attempts to bring together arithmetic and analysis were concerned with the rational numbers (positive and negative); they were taken up around 1860 by several authors, notably Grassman, Hankel, and Weierstrass. To Weierstrass is, apparently, due the idea of obtaining a "model" of the positive of negative rational numbers by considering classes of ordered pairs of natural integers. But the most important step still remained to be taken, namely, to construct a "model"  of the irrational numbers from within the theory of rational numbers.

By 1870 this had become an urgent problem because of the necessity, after the discovery of "pathological"  phenomena in analysis, to purge every trace of geometrical intuition and the vague notion of "magnitude" from the definition of real numbers. The problem was, in fact, solved at about this time almost simultaneously Cantor, Dedekind, Meray and Weierstrass, using quite different methods from one another.

From then on, the integers became the foundation of all classical maths. Furthermore,  the "models" founded on arithmetic acquired still greater importance with the extension of the axiomatic method and the conception of math objects as free creations of the human intellect. For there remained a limitation to the freedom claimed by Cantor, namely, the limitation raised by the question of "existence " which had already occupied the Greeks, and which arose now so much  more  urgently precisely because all appeal to intuitive representation was now abondoned.

We shall not discuss what a philosophico-math maelstrom was to be generated by notion of "existence" in the early years of the twentieth century. But in the  nineteenth century this stage had not yet been reached, and to prove the existence of a math object having a given set of properties meant simply, just as Euclid, "to construct" an object with the required properties. This was purpose of the arithmetical "models".

Once the real numbers had been "interpreted" in terms of integers, then the same was done for complex numbers and Euclidean geometry, thanks to analytic geometry, and likewise for all the new algebraic objects introduced since the beginning' of the century. Finally, in a discovery which achieved great fame Beltrami and Klein obtained Euclidean "models" of the non-Euclidean geometries of Lobachevsky and Riemann and thereby "arithmetized" (and completely justified) these theories which at first had aroused so much distrust.