The Origin of Modern Arithmetic

http://wormholetravel.net/

We shall understand "arithmetic" in the sense of the Greek arithmetica. Equivalents are "the higher arithmetic" and the "theory of numbers". Gauss, the fore­most exponent of the classical theory after Fermat, preferred the simpler "arithmetic" or the longest "higher arithmetic". Modern arithmetic began with Fermat, roughly in the period of 1630-65. Significant as was Fermat's work in other fields of maths, he is usually considered to have made his greatest and most personal contribution in arithmetic.

This extensive division of maths differs from others in its lack of general methods. Even comprehensive theorems here are more difficult to devise than, say, in algebra or analysis. Thus, in algebra there is a complete theory of the solution of algebraic equations in one unknown; in fact, there are two complete theories. In arithmetic the simplest corresponding problem is the solution in integers of equations in two unknowns with integer coefficients, and for this there is nothing approaching a complete theory.

Many of Fermat's discoveries were either recorded as marginal notes in his books (the arithmetic in his copy of Diophantus) or were communicated usually without proof to correspondents. Some of his theorems were proposed by him as challenge problems to the English mathematicians. For example, he demanded a proof that the only positive integer solution of  x² + 2 = y³ is x=5, y=3. It will suffice to state those two of Fermat's discoveries which have had the profoundest influence on arithmetic and algebra since his time, and the one general method in arithmetic due to him.

Fermat stated that if n is a positive integer not divisible by the positive prime p, then n^p-1 is divisible by p. The Chinese "seem to have known as early as 500 B.C. "the special case n = 2. Any student of the theory of algebraic equations, or of modern algebra, or of arithmetic, will recall the frequent appearance of this fundamental theorem. The first published proof was Euler's in 1738; Leibnitz had obtained a proof before 1683 but did not publish it. The rule of priority in maths is first publication.

The second famous assertion of Fermat, his celebrated "last theorem", states that xⁿ + yⁿ = zⁿ, xyz ≠ 0, n > 2 is impossible in integers x, y, z, n. He claimed (1637) to have discovered a marvelous proof; and whether or not he had, no proof has yet been found. There seems to be but little point now in proving the theorem for special n's, enough in that direction being known to make it fairly plausible that the theorem is true.

But, to take out insurance against a possible disproof tomorrow, it must be emphasized that arithmetic is the last place in maths where unsubstantiated guessing is either ethical or profitable. Numerical evidence counts for very little; the only luxury reputable arithmetician allows himself is proof. It is generally agreed that the famous "last theorem", true or false, is of but slight interest today. But its importance in the development of arithmetic and modern algebra has been very great.

Fermat's general method, that of "infinite descent", is profoundly ingenious but has the disadvantage that it is often extremely difficult to apply. In the particular theorem for which Fermat invented the method, it is required to prove that the very positive prime of the form 4n + 1 is a sum of two integer squares. But 5 = 1² + 2²; hence the theorem.

The  outstanding desideratum in arithmetic is the invention of general methods applicable to nontrivial types of problems. Further, the arithmetical solution of a problem should consist in prescribing a finite number of purely arithmetical operations (exempt from all tentative processes) by which all the numbers satisfying the conditions of the problem, and those only, are obtained. Nobody after Euclide and before Lagrange, in the eighteenth century even distantly approached this ideal.

Многие понятия, задачи и методы теории чисел пришли к нам из древности; от древних греков, китайцев, вавилонян, египтян. Об их происхождении говорят сохранившиеся до наших дней названия: алгоритм Евклида, способ решета Эратосфена, пифагоровы треугольники, диофантов анализ, египетские дроби и т.д. Знакомство с арабскими рукописями и латинскими переводами Евклида и Диофанта в средние века пробудило у европейцев интерес к задачам теории чисел. Наибольший интерес представляют теоретико-численные результаты.

П. Ферма. Основные открытия Ферма по теории чисел содержатся в его замечаниях в книге Диофанта и в его письмах к ряду европейских математиков. Наибольшей известностью в теории чисел пользуются «малая теорема Ферма» (a^p-1 = k^p + 1) и «последняя» или «великая теорема Ферма" (xⁿ + yⁿ = zⁿ ) Это уравнение не имеет решений в целых числах при n целом, большем чем 2. Хотя сочинения Ферма были изданы через несколько лет после его смерти, они не привлекли в то время особого внимания математиков.

Л.Эйлер — один из творцов дифференциального и интегрального исчисления, продолжатель исследований Ньютона и Лейбница. Его любимым предметом была теория чисел. Поэтому не удивительно, что именно у Эйлера возникла мысль применить в теории чисел методы математического анализа. Много сделал для теории чисел современник Эйлера Ж.Лаграж.. Ему принадлежит первое доказательство теоремы о четырех квадратах, важные исследования по теории квадратичных форм, полное решение уравнения Ферма x² − ay² = 1  и другие важные результаты.

Первый систематический  курс теории чисел был опубликован А.Лежандром, в котором он изложил результаты Эйлера, Лагранжа и свои собственные. Вслед за ним появился капитальный и оригинальный труд К.Гаусса "Арифметические исследования», успешно применившего теорию чисел к теоретическому решению древней задачи о построении правильного семнадцатиугольника с помощью циркуля и линейки. Гаусс взглянул на теорию числе с новой точки зрения, стараясь в ее построении придерживаться единого принципа. Наследником и продолжателем Эйлера, Лагранжа и Гаусса в теории чисел явился ПЛежен-Дирихле, который доказал справедливость великой теоремы Ферма для n = 14. Он же впервые доказал теорему об арифметических прогрессиях. Другая большая заслуга Дирихле состоит в изучении им асимптотических законов для теоретико-числовых функций.

Вопросами теории чисел занимались многие современники Дирихле. Середина XIX в. была отмечена выдающимися результатами в области теории чисел. Расширения понятия целого числа породили теорию алгебраических чисел, теорию идеалов, теорию групп, арифметику кватернионов и другие разделы современной теории чисел и современной алгебры.