Математическая логика

http://wormholetravel.net/math.html

Математическая логика — особая область общей логики, изучающая математические доказательства. Одним из наиболее распространенных способов логической систематизации математики является аксиоматический метод. Он требует точной формулировки основных аксиом, из кото­рых логически выводится содержание теории. Аксиоматические теории, построенные с помощью логических средств, называются дедуктивными теориями. Для решения этих проблем в современной математике, в частности в математической логике, применяется метод формализации доказательств. Формула считается выводимой, если может быть построен ее вывод. Идея метода формализации доказательств принадлежит Д.Гильберту. Проведение этой идеи стало, однако, возможным благодаря предшествовавшей разработке аппарата математической логики в работах английского логика Д.Буля (1847), русского математика П.Порецкого (1884), немецких математиков Э.Шредера (1890-1902) и Г.Фреге (1879, 1884), итальянского математика Д. Пеано( 1894) и др. В начальный период своего развития математическая логика рассматривалась только как «алгебра логики», как применение алгебраического метода к логике. Лишь Пеано и Фреге осознали значение математической логики для математики и начали применять ее к вопросам оснований арифметики и теории множеств. В настоящее время математическая логика является мощным и неотъемлемым орудием исследований в проблемах обоснования математики. В разработке математической логики принимали участие советские математики В.Гливенко, И.Жегалкин, А.Колмогоров, П.Новиков и др.

Математическая логика в широком смысле есть наука, характеризуе­мая следующими чертами: а) она изучает главным образом неколичественные отношения,
б) ищет точные значения и необходимые следствия,
в) ее главные орудия — оперативные символы.
Математическая логика рассматривает высказывания, классы, отношения, свойства. В математической логике имеются следующие разделы:
1.Булева алгебра (алгебра операций И, ИЛИ, НЕ и высказываний или классов). Булева алгебра нашла применение в проектировании и проверке электрических схем, в которых используется реле, работающее по принципу «да — нет».
2. Раздел, в котором исследуются основания математики. Трехтомный труд английских логиков и философов Б.Рассела и А.Уайтхеда «Начала математики» сыграл большую роль в истории математической логики и значительно способствовал развитию и усовершенствованию логической символики и логических исчислений. Однако намерение авторов полностью формализовать математику с помощью логических исчислений потерпело неудачу.
3. Алгебра отношений, которая рассматривает такие понятия, как «симметричные отношения», «транзитивные отношения», «ряды» и т. д.
4. Раздел, в котором изучаются так называемые «проблемы разрешимости», т. е. разыскания действенных вычислительных процедур для определения истинности или ложности целых классов высказываний.
5. Модальная логика, т. е., исследования суждений с несколькими возможными логическими значениями (типа «невозможно—возможно—необходимо», или «да—нет—бессмысленно», вместо однозначного «да—нет».)
6. Исследования по семантике, т. е., исследования соотношений между дедуктивными (аксиоматическими) теориями и удовлетворяющими им системами объектов.

Можно выделить следующие типы логических задач:
1) проверить доказательство или вывод из каких-либо предположений;
2) построить вывод утверждения (формулировка которого известна) из данной совокупности посылок;
3) найти все логические следствия определенного вида из данных посылок;
4) найти все посылки (гипотезы) определенного вида, из которых следует данное утверждение.

Простейшими из логических исчисление являются исчисления высказываний, классическое и конструктивное. В них употребляются следующие знаки: логические переменные А, В, С,..., означающие произвольные высказывания,  знаки логических связок и скобки, выявляющие строение формул.  Формулами считаются в этих исчисления логические переменные и всякие выражения, получающиеся путем логических операций.
В обоих исчисления высказываний — классическом и конструктивном, употребляются одни и те же правила вывода, а именно:
а) правило подстановки: из формулы выводится новая формула путем подстановки всюду вместо какой-либо логической переменной произвольной формулы;
б) заключений: из формул А и (A⊃B) выводится формула В.
Эти правила отражают обычные способы рассуждений: переход от общего к частному и вывод следствий из доказанных посылок. Различие между этими двумя исчисления высказываний проявляется в наборах их аксиом. Об исчислении говорят, что оно непротиворечиво, если в нем невыводима никакая формула и вместе с формулой ~И. Задача установления непротиворечивости применяемых в математике исчисление является одной из главных задач магической логики. В настоящее время эта задача решена лишь в весьма ограниченном объеме. Употребляются различные понятия «полноты» исчисления. Имея в виду охват той или иной содержательно определенной области математики, считают исчисление полным относительно этой области, если в нем выводима всякая формула, выражающая верное утверждение в этой области. Другое понятие полноты исчисления связано с требованием доставлять либо доказательство, либо опровержение всякого утверждения, формулируемого в исчислении. Первостепенное значение в связи с этим  понятиями имеет теорема Геделя, утверждающая несовместимость требования полноты с требованием непротиворечивости для весьма широкого класса исчисление. Согласно теореме Геделя, никакое непротиворечивое исчисление из этого класса не может быть полным относительно арифметики. Для всякого такого исчисления может быть построено верное арифметическое утверждение, формализуемое, но невыводимое в исчислении. Теорема Геделя нанесла сокрушительный удар по формализму (Б.Рассел, Б. Карнап), направлению, пытавшемуся свести всю математическую логику к манипуляциям с формулами по определенным раз навсегда установленным правилам. В силу теоремы Гёделя, даже такая сравнительно элементарная часть математики, как арифметика натуральных чисел, не может быть полностью охвачена одной дедуктивной теорией. Теорема Гёделя уничтожила метафизические надежды на математическую логику, как на нечто, способное осуществить всеобщий охват математики в рамках одной дедуктивной теории.

Наиболее широко используемым при построении дедуктивных математических теорий является в настоящее время классическое исчисление предикатов, представляющее собой развитие и уточнение классической теории суждений Аристотеля и вместе с тем вполне соответствующее теоретико-множественной системе абстракций. В то время как классическое исчисление высказываний формализует суждения в виде переменных, не углубляясь в их строение, классическое исчисление предикатов выделяет в них субъекты и предикаты, учитывая в них построение общих и частных суждений. Наряду со знаками, применяемыми в исчислении высказываний, здесь применяются знаки ∀ и ヨ, означающие соответственно «при всяком...» и «существует». Конструктивное исчисление предикатов расходится с классическим исчислением предикатов в истолковании в них частных и экзистенциальных суждений. В математической логике исчисления применяются в сочетании со специфическими аксиомами развертываемых дедуктивных теорий. Например, теорию натуральных чисел можно строить объединяя аксиомы Пеано с исчислением предикатов (классическим или конструктивным). Аналогично можно строить теорию множеств. Возможны различные варианты таких исчисление соответственно различным выборам аксиом. Математическая логика имеет глубокую принципиальную связь с теорией построения автоматов, в частности с «машинной математикой».

Математическая логика, изучая логическую структуру и законы построения рассуждений, использует некоторые искусственные языки, называемые формализованными языками. Формализованные языки определяются а) перечнем исходных знаков; б) правилами образования (синтаксических) осмысленных выражений или синтаксическими правилами; в) правилами смысла, или семантическими правилами. Благодаря точному синтаксису и семантике, отсутствию омонимических выражений, применению экономных и хорошо обозримых способов записи формализованный язык служит материальным средством выявления, анализа логической структуры и законов построения выводов и доказательств. С помощью формализованного языка удается выяснить точный смысл логических понятий и осуществить строгое обоснование логики.